什么是线性整数规划问题

整数规划问题是指在一组线性不等式约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题，且目标函数和约束条件中的变量含有整数。

如何使用 MATLAB 解决线性整数规划问题

常见的线性整数规划问题通常类似于以下形式：

$$\begin{equation} \min \quad Z=8 x_{1} + x_{2} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{2} \text{ is an integer} \\ x_{1}+2x_{2} \geq -14 \\ -4x_{1}-x_{2} \leq -33 \\ 2x_{1}+x_{2} \leq 20 \end{array} \right. \end{equation}$$

其中，公式1为目标函数，公式2为约束条件。

为了便于求解，我们可以将公式1和公式2分别写成矩阵形式：

$$\begin{equation} \min \quad Z=\begin{bmatrix} 8 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{2} \text{ is an integer} \\ \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -4 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} 14 \\ -33 \\ 20 \end{bmatrix} \end{array} \right. \end{equation}$$

这种形式便是 MATLAB 的线性整数规划的标准形式：

$$\min _{x} f^{T} x \text { subject to } \left\{ \begin{array}{c} \text {x(intcon) are integers} \\ A \cdot x \leq b \\ { Aeq } \cdot x={ beq } \\ l b \leq x \leq u b. \end{array} \right.$$

可以调用 intlinprog 函数来求解，其语法为：

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[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中，f 为目标函数，intcon 为整数变量的下标，A 为约束条件的系数矩阵，b 为约束条件的右端项，Aeq 为等式约束条件的系数矩阵，beq 为等式约束条件的右端项，lb 为变量的下界，ub 为变量的上界。

本题便可使用如下代码求解：

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f = [8 1];
intcon = 2;
A = [-1 -2; -4 -1; 2 1];
b = [14; -33; 20];

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b);

结果为：

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x =
    6.5000
    7.0000

fval =
    59.0000

附加题

让我们运用上文的方法求解以下问题：

$$\begin{equation} \min \quad Z=2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{2} \text{ is an integer} \\ x_{3} \text{ is an integer} \\ x_{1}+2x_{2}+3x_{3} \geq 1 \\ -x_{1}-x_{2}-x_{3} \leq -1 \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3} \leq 2 \end{array} \right. \end{equation}$$

首先转化为标准形式：

$$\begin{equation} \min \quad Z=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{2} \text{ is an integer} \\ x_{3} \text{ is an integer} \\ \begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \end{array} \right. \end{equation}$$

然后使用 intlinprog 函数求解：

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f = [2 3 4];
intcon = [2 3];
A = [-1 -2 -3; -1 -1 -1; 2 1 1];
b = [-1; -1; 2];

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b);

最终结果：

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6
7

x =
    1.0000
    0
    0

fval =
    2.0000